الجبر الخطي الأمثلة

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

خطوة 1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 - i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

خطوة 2

اضرب $\frac{6}{6 + i}$ في $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

خطوة 3

اضرب بسط وقاسم $\frac{6}{6 + 1 i}$ في مرافق $6 + 1 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

خطوة 4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

خطوة 4.2.2

اضرب $6$ في $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

خطوة 4.2.3

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

وسّع $(6 + 1 i) (6 - i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

خطوة 4.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

خطوة 4.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $6$ في $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

خطوة 4.3.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

خطوة 4.3.2.5

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

خطوة 4.3.2.6

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

خطوة 4.3.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

خطوة 4.3.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

خطوة 4.3.2.9

أضف $- 6 i$ و $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

خطوة 4.3.2.10

أضف $36$ و $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

خطوة 4.3.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

خطوة 4.3.4

أضف $36$ و $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

خطوة 5

قسّم الكسر $\frac{36 - 6 i}{37}$ إلى كسرين.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

خطوة 7

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 8

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 9

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = \frac{36}{37}$ و $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10.2.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10.2.4

ارفع $37$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

خطوة 10.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

خطوة 10.2.6

ارفع $36$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

خطوة 10.2.7

ارفع $37$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

خطوة 10.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

خطوة 10.2.9

أضف $36$ و $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

خطوة 10.3

احذِف العامل المشترك لـ $1332$ و $1369$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $37$ من $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

خطوة 10.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $37$ من $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

خطوة 10.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

خطوة 10.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{36}{37}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

خطوة 10.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

خطوة 10.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

خطوة 10.6

اضرب $\frac{6}{\sqrt{37}}$ في $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

خطوة 10.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

اضرب $\frac{6}{\sqrt{37}}$ في $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

خطوة 10.7.2

ارفع $\sqrt{37}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

خطوة 10.7.3

ارفع $\sqrt{37}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

خطوة 10.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

خطوة 10.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

خطوة 10.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{37}}^{2}$ بالصيغة $37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{37}$ في صورة $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 10.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 10.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

خطوة 10.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

خطوة 11

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

خطوة 12

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ ينتج زاوية في الربع الرابع، إذن قيمة الزاوية تساوي $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

خطوة 13

عوّض بقيمتَي $θ = - 0.16514867$ و $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$